Formeln & Diagramme
MathematischeSammlung: Viele unterschiedliche Formeln (Beispiele)einfach ✍️➜ komplex) 📚✨
Unten findest du eine breite Auswahl an Formeln aus verschiedenen Bereichen (Algebra, Geometrie, Analysis, Statistik, Physik, Finanzmathematik …). Ich mische sehr einfache mit deutlich komplexeren Ausdrücken, damit du viel Variation hast.
1) GrundlagenGrundrechenarten (Algebra)&
QuadratischeInline-Beispiele: Gleichung
$7+5=12$, $9-4=5$, $6\cdot 8=48$, $20/5=4$.
$$ax^2 + bx + a+b=c = 0
$$
$$Lösungsformel (Mitternachtsformel):x-y=z
$$
$$
m\cdot n=p
$$
$$
\frac{u}{v}=w
$$
$$
2x+3=11 \Rightarrow x=4
$$
$$
5(x-2)=3x+10 \Rightarrow 2x=20 \Rightarrow x=10
$$
2) Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
$$
x^2-9=(x-3)(x+3)
$$
$$
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
$$
$$
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
$$
$$
\sqrt{50}=5\sqrt{2}
$$
$$
\sqrt{x^2}=|x|
$$
$$
\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)
$$
$$
\log_b!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b(x)-\log_b(y)
$$
$$
\ln(e^x)=x
$$
$$
e^{\ln x}=x \quad (x>0)
$$
3) Brüche, rationale Ausdrücke, Partialbruch-artige Formen
$$
\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}
$$
$$
\frac{x^2-1}{x-1}=x+1 \quad (x\neq 1)
$$
$$
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}
$$
$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Rightarrow ad=bc
$$
$$
\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}
$$
4) Gleichungen & Ungleichungen (linear, quadratisch, etc.)
$$
ax+b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{a}\quad (a\neq 0)
$$
$$
x^2-5x+6=0 \Rightarrow x\in{2,3}
$$
$$
x=\frac{-b \pm \b\pm\sqrt{b^2 - 2-4ac}}{2a}
$$
Binomische Formel (eine von drei)
$$(a+b)^|x-3|<2 \Rightarrow 1<x<5
$$
$$
x^2+1\ge 0
$$
$$
\frac{x-2}{x+1}\ge 0
$$
5) Geometrie & Trigonometrie 📐
$$
A_{\text{Rechteck}}=l\cdot a^2b
$$
$$
A_{\text{Kreis}}=\pi 2ab + b^r^2
$$
$$
U_{\text{Kreis}}=2\pi
$$
Geometrische$$
V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\pi Reiher^3
$$
$$
a^2+b^2=c^2
$$
$$
\sum_{k=0}^sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1
$$
$$
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
$$
$$
\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta
$$
$$
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
$$
6) Folgen & Reihen
$$
a_n=a_1+(n-1)d
$$
$$
S_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)d\right)
$$
$$
a_n=a_1q^{,n-1}
$$
$$
S_n=a_1\frac{1-q^{n+1}}n}{1-q}\quad (q\neq 1)
$$
$$
\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}
$$
$$
\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$
$$
\sum_{k=0}^{\infty} q^k = ar^k=\frac{1}a}{1-q}r}\quad (|q|r|<1)
$$
7) Analysis: Grenzwerte, Ableitungen, Integrale
2) Analysis (Ableitungen & Integrale)Grenzwerte
Ableitung (Definition über Grenzwert):
$$f'(x)=\lim_{h\x\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}\sin x}{h}x}=1
$$
Produktregel:
$$(fg)' = f'g + fg'\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e
$$
Ableitungen
Bestimmtes$$
\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}
$$
$$
\frac{d}{dx}(\sin &x)=\cos Hauptsatz:x
$$
$$
\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x
$$
$$
\frac{d}{dx}(e^x)=e^x
$$
$$
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}
$$
$$
\frac{d}{dx}\big(f(g(x))\big)=f'(g(x))\cdot g'(x)
$$
$$
\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}
$$
Integrale
$$
\int x^n,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n\neq -1)
$$
$$
\int \frac{1}{x},dx=\ln|x|+C
$$
$$
\int e^x,dx=e^x+C
$$
$$
\int \sin x,dx=-\cos x+C
$$
$$
\int_a^b f(x)\,dx
$$
$$
\int_0^\infty F(b)e^{-F(a)ax},dx=\frac{1}{a}\quad \text{falls(a>0)
$$
8) Differentialgleichungen (einfach bis klassisch)
$$
y'(x)=f(ky(x)
$$
$$
y(x)=Ce^{kx}
$$
Partielle$$
y''+\omega^2 Ableitungeny=0
$$
$$
y(x)=A\cos(\omega inx)+B\sin(\omega 2D):x)
$$
$$
\frac{\partial}dy}{\partial x} \bigl(x^2y + \sin(y)\bigr)dx}=2xyay-by^2
$$
3)
9) Lineare Algebra (Vektorenohne &Matrix-Umgebung, Matrizen)aber 📐
mit Skalarprodukt (in $\mathbb{R}^n$):
$$
\langle u, v\rangle =vec{u}\cdot \sum_{i=1}^{n} u_i v_ivec{v}=|\vec{u}|,|\vec{v}|\cos\theta
$$
Geradengleichung (Parameterform):
$$g(t)|\vec{v}|=p+t\,d\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}
$$
Eigenwertproblem (abstrakt):
$$A v A\vec{x}= \lambda vvec{b}
$$
$$
\det(A)\neq
$$
4)
10) Wahrscheinlichkeit & Statistik 🎲
Erwartungswert$$
P(A^c)=1-P(A)
$$
$$
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
$$
$$
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
$$
$$
\mathbb{E}[X]=\sum_x x\,\mathbb{P}(x,P(X=x)
$$
$$
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty}
$$
Varianz:
$$
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^2
$$
$$
\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}
$$
Normalverteilung$$
\hat{p}=\frac{k}{n}
$$
$$
z=\frac{x-\mu}{\sigma}
$$
11) Physik-Formeln ⚙️
$$
v=\frac{s}{t}
$$
$$
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
$$
$$
F=ma
$$
$$
p=mv
$$
$$
E=\frac{1}{2}mv^2
$$
$$
E=mc^2
$$
$$
P=\frac{W}{t}
$$
$$
U=RI
$$
$$
P=UI
$$
$$
f=\frac{1}{T}
$$
12) Finanzmathematik 💶
$$
K_n=K_0(1+i)^n
$$
$$
\text{PV}=\frac{\text{FV}}{(1+i)^n}
$$
$$
A=\frac{K_0 i}{1-(1+i)^{-n}}
$$
13) Komplexere „gemischte“ Ausdrücke (Dichte):
mehrstufig, verschachtelt)
$$
f(x)=\frac{\ln(1+x^2)}{1+e^{-x}}
$$
$$
g(x)=\sqrt{1+\frac{1}{1+x^4}}
$$
$$
h(t)=e^{-t}\sigma\sqrt{2\pi}}left(\exp\left(-cos(3t)+\frac{(x-1}{2}\mu)^2}{2\sigma^2}sin(3t)\right)
$$
$$
\phi(x)=\int_0^x
$$
$$
\psi(x)=\frac{d}{dx}\left(x^2 e^{\sin x}\right)
$$
$$
\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}
$$
$$
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}
$$
Diagramme (textbasiert) 📊
Hinweis: Das sindASCII-Diagramme(rein textuell).Wenn du
willst,willstkann ich dir auchMermaid-Diagramme (z.B. Linien-/Balken-/Flowcharts) erzeugen – sag nur Bescheid, welche Umgebung du nutzt.
1) Funktionsplot (Parabel $y=x^2$)
y
^
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
+----------------------------------> x
0
2) Sinus-Welle (schematisch)
y
^ * * *
| * * * * * *
| * * * *
| * *
+----------------------------------> x
3) Balkendiagramm (Beispieldaten)✅
Daten:Sag A=3,mir B=7,bitte C=5, D=2kurz:
A | ███
B | ███████
C | █████
D | ██
4) Streudiagramm (Punktewolke, schematisch)
y
^ * *
| * *
| * *
| *
| *
+-----------------------------> x
Was soll ich als Nächstes erzeugen? ✅
- Welche
Art DiagrammeThemenbrauchst du? (Linie, Balken, Histogramm, Boxplot, Funktionsplot, …)
…dann generiere ich dir eine zweite, noch stärker fokussierte Sammlung.