Formeln & Diagramme
Sammlung: Viele unterschiedliche Formeln (einfach ➜ komplex) 📚✨
Unten findest du eine breite Auswahl an Formeln aus verschiedenen Bereichen (Algebra, Geometrie, Analysis, Statistik, Physik, Finanzmathematik …). Ich mische sehr einfache mit deutlich komplexeren Ausdrücken, damit du viel Variation hast.
1) Grundrechenarten & einfache Umformungen
Inline-Beispiele: $7+5=12$, $9-4=5$, $6\cdot 8=48$, $20/5=4$.
$$
a+b=c
$$
$$
x-y=z
$$
$$
m\cdot n=p
$$
$$
\frac{u}{v}=w
$$
$$
2x+3=11 \Rightarrow x=4
$$
$$
5(x-2)=3x+10 \Rightarrow 2x=20 \Rightarrow x=10
$$
2) Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
$$
x^2-9=(x-3)(x+3)
$$
$$
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
$$
$$
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
$$
$$
\sqrt{50}=5\sqrt{2}
$$
$$
\sqrt{x^2}=|x|
$$
$$
\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)
$$
$$
\log_b!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b(x)-\log_b(y)
$$
$$
\ln(e^x)=x
$$
$$
e^{\ln x}=x \quad (x>0)
$$
3) Brüche, rationale Ausdrücke, Partialbruch-artige Formen
$$
\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}
$$
$$
\frac{x^2-1}{x-1}=x+1 \quad (x\neq 1)
$$
$$
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}
$$
$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Rightarrow ad=bc
$$
$$
\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}
$$
4) Gleichungen & Ungleichungen (linear, quadratisch, etc.)
$$
ax+b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{a}\quad (a\neq 0)
$$
$$
x^2-5x+6=0 \Rightarrow x\in{2,3}
$$
$$
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
$$
|x-3|<2 \Rightarrow 1<x<5
$$
$$
x^2+1\ge 0
$$
$$
\frac{x-2}{x+1}\ge 0
$$
5) Geometrie & Trigonometrie 📐
$$
A_{\text{Rechteck}}=l\cdot b
$$
$$
A_{\text{Kreis}}=\pi r^2
$$
$$
U_{\text{Kreis}}=2\pi r
$$
$$
V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\pi r^3
$$
$$
a^2+b^2=c^2
$$
$$
\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1
$$
$$
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
$$
$$
\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta
$$
$$
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
$$
6) Folgen & Reihen
$$
a_n=a_1+(n-1)d
$$
$$
S_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)d\right)
$$
$$
a_n=a_1q^{,n-1}
$$
$$
S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}\quad (q\neq 1)
$$
$$
\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}
$$
$$
\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$
$$
\sum_{k=0}^{\infty} ar^k=\frac{a}{1-r}\quad (|r|<1)
$$
7) Analysis: Grenzwerte, Ableitungen, Integrale
Grenzwerte
$$
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1
$$
$$
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e
$$
Ableitungen
$$
\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}
$$
$$
\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x
$$
$$
\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x
$$
$$
\frac{d}{dx}(e^x)=e^x
$$
$$
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}
$$
$$
\frac{d}{dx}\big(f(g(x))\big)=f'(g(x))\cdot g'(x)
$$
$$
\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}
$$
Integrale
$$
\int x^n,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n\neq -1)
$$
$$
\int \frac{1}{x},dx=\ln|x|+C
$$
$$
\int e^x,dx=e^x+C
$$
$$
\int \sin x,dx=-\cos x+C
$$
$$
\int_a^b f(x),dx
$$
$$
\int_0^\infty e^{-ax},dx=\frac{1}{a}\quad (a>0)
$$
8) Differentialgleichungen (einfach bis klassisch)
$$
y'(x)=ky(x)
$$
$$
y(x)=Ce^{kx}
$$
$$
y''+\omega^2 y=0
$$
$$
y(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)
$$
$$
\frac{dy}{dx}=ay-by^2
$$
9) Lineare Algebra (ohne Matrix-Umgebung, aber mit Vektoren)
$$
\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}|,|\vec{v}|\cos\theta
$$
$$
|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}
$$
$$
A\vec{x}=\vec{b}
$$
$$
\det(A)\neq 0 \Rightarrow A^{-1}\ \text{existiert}
$$
10) Wahrscheinlichkeit & Statistik 🎲
$$
P(A^c)=1-P(A)
$$
$$
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
$$
$$
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
$$
$$
\mathbb{E}[X]=\sum_x x,P(X=x)
$$
$$
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x),dx
$$
$$
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2
$$
$$
\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}
$$
$$
\hat{p}=\frac{k}{n}
$$
$$
z=\frac{x-\mu}{\sigma}
$$
11) Physik-Formeln ⚙️
$$
v=\frac{s}{t}
$$
$$
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
$$
$$
F=ma
$$
$$
p=mv
$$
$$
E=\frac{1}{2}mv^2
$$
$$
E=mc^2
$$
$$
P=\frac{W}{t}
$$
$$
U=RI
$$
$$
P=UI
$$
$$
f=\frac{1}{T}
$$
12) Finanzmathematik 💶
$$
K_n=K_0(1+i)^n
$$
$$
\text{PV}=\frac{\text{FV}}{(1+i)^n}
$$
$$
A=\frac{K_0 i}{1-(1+i)^{-n}}
$$
13) Komplexere „gemischte“ Ausdrücke (mehrstufig, verschachtelt)
$$
f(x)=\frac{\ln(1+x^2)}{1+e^{-x}}
$$
$$
g(x)=\sqrt{1+\frac{1}{1+x^4}}
$$
$$
h(t)=e^{-t}\left(\cos(3t)+\frac{1}{2}\sin(3t)\right)
$$
$$
\phi(x)=\int_0^x e^{-u^2},du
$$
$$
\psi(x)=\frac{d}{dx}\left(x^2 e^{\sin x}\right)
$$
$$
\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}
$$
$$
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}
$$
Wenn du willst ✅
Sag mir bitte kurz:
- Welche Themen (z.B. „nur Analysis“, „nur Physik“, „mehr Stochastik“)
- Ob du besonders viele sehr komplexe Formeln möchtest (z.B. Integral-/Summen-Kombinationen)
…dann generiere ich dir eine zweite, noch stärker fokussierte Sammlung.