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Formeln & Diagramme

Mathematische Formeln ✍️

Pythagoras (rechtwinkliges Dreieck):
[
a^2 + b^2 = c^2
]

Quadratische Lösungsformel:
[
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
]

1) Grundlagen (Inline & Display)

  • Pythagoras (rechtwinkliges Dreieck):
    [
    a^2 + b^2 = c^2
    ]

  • Quadratische Lösungsformel:
    [
    x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
    ]

  • Binomische Formel:
    [
    (x+y)^2=x^2+2xy+y^2
    ]

  • Euler-Identität:
    [
    e^{i\pi}+1=0
    ]

2) Analysis

  • Ableitung (Potenzregel):
    [
    \frac{d}{dx},x^n = n x^{n-1}
    ]

  • Produktregel:
    [
    (fg)' = f'g + fg'
    ]

  • Kettenregel:
    [
    \frac{d}{dx}f!\bigl(g(x)\bigr)=f'!\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)
    ]

  • Integral (Partielle Integration):
    [
    \int u,dv = uv-\int v,du
    ]

  • Taylor-Polynom um (0) bis Ordnung (n):
    [
    f(x)\approx \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!},x^k
    ]

3) Lineare Algebra & Wahrscheinlichkeit

  • Matrixmultiplikation (Definition eines Eintrags):
    [
    (AB){ij}=\sum{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}
    ]

  • Determinante einer (2\times 2)-Matrix:
    [
    \det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc
    ]

  • Bedingte Wahrscheinlichkeit:
    [
    P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
    ]

  • Bayes-Theorem:
    [
    P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A),P(A)}{P(B)}
    ]

  • Erwartungswert (diskret):
    [
    \mathbb{E}[X]=\sum_{x}x\cdot P(X=x)
    ]

Diagramme mit Mermaid 📈

1) Flowchart: Ablauf „Quadratische Gleichung lösen“

Hinweis: In Knotenbeschriftungen keine runden Klammern – daher z.B. „Diskriminante berechnen“ statt „D berechnen“.

flowchart TD
  A["Start"] --> B["Eingabe: a, b, c"]
  B --> C["Diskriminante: D = b^2 - 4ac"]
  C --> D{"D < 0?"}
  D -->|ja| E["Keine reellen Lösungen"]
  D -->|nein| F{"D = 0?"}
  F -->|ja| G["Eine Lösung: x = -b / 2a"]
  F -->|nein| H["Zwei Lösungen: x1, x2 via Mitternachtsformel"]
  E --> Z["Ende"]
  G --> Z
  H --> Z

2) Sequence Diagram: Anfrage–Antwort bei einer Formel-API

sequenceDiagram
  participant U as User
  participant C as Client
  participant S as Server

  U->>C: Eingabe „Formel anfragen“
  C->>S: GET /formula?id=pythagoras
  S-->>C: 200 OK + LaTeX
  C-->>U: Anzeige der Formel

3) Klassendiagramm: Mini-Modell für Vektoren und Matrizen

classDiagram
  class Vector {
    +int dim
    +float[] data
    +norm() float
    +dot(Vector) float
  }

  class Matrix {
    +int rows
    +int cols
    +float[][] data
    +mul(Vector) Vector
    +mul(Matrix) Matrix
  }

  Matrix --> Vector : „wirkt auf“

4) Diagramm: Graph einer Funktion als Beziehung (konzeptionell)

flowchart LR
  X["x Werte"] --> F["f anwenden"]
  F --> Y["y Werte"]
  Y --> P["Punkte im Koordinatensystem"]

Wenn du mir sagst, für welches Thema (z.B. Trigonometrie, Differentialgleichungen, Statistik, Lineare Algebra) und welchen Schwierigkeitsgrad, erstelle ich dir gern gezielt passende Formeln plus ein oder zwei wirklich passende Diagramme dazu.

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