Formeln & Diagramme

1. • LinearePythagoras Funktion(rechtwinkliges Dreieck):
     [
     f(x)a^2 + b^2 = mx + bc^2
     ]

   • Quadratische LösungsformelLösungsformel:
     [
     x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
     ]

   • SatzBinomische desFormel:
     Pythagoras
     [
     a^(x+y)^2=x^2+b^2=c^2xy+y^2
     ]

   • Euler-Identität:
     [
     e^{i\pi}+1=0
     ]

2) Analysis

Ableitung einer(Potenzregel):
Potenz
[
\frac{d}{dx},x^n = n x^{n-1}
]

IntegralProduktregel:
einer Potenz
[
\int(fg)' x^n,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}= f'g +C \quad \text{für } n\neq -1fg'
]

Euler’scheKettenregel:
Identität
[
e^\frac{d}{i\pi}+1=0dx}f!\bigl(g(x)\bigr)=f'!\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)
]

BinomischerIntegral Lehrsatz(Partielle Integration):
[
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}int u,dv = uv-\binom{n}{k}a^{,n-k}b^kint v,du
]

NormalverteilungTaylor-Polynom um (0) bis Ordnung (n):
[
f(x)=\approx \sum_{k=0}^{n}\frac{1}f^{\sqrt{2\pi\sigma^2}(k)}\exp!\left(-\frac{(x-\mu)^2}0)}{2\sigma^2}\right)k!},x^k
]

3) Lineare Algebra & Wahrscheinlichkeit

Matrixmultiplikation (Definition eines Eintrags):
[
(AB){ij}=\sum{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}
]

Determinante einer (2\times 2)-Matrix:
[
\det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc
]

Bedingte Wahrscheinlichkeit:
[
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
]

Bayes-Theorem:
[
P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A),P(A)}{P(B)}
]

Erwartungswert (diskret):
[
\mathbb{E}[X]=\sum_{x}x\cdot P(X=x)
]

Diagramme (Mermaid)mit Mermaid 📈

1) Flowchart: Ablauf „VomQuadratische ProblemGleichung zur Lösung“lösen“

Hinweis: KeineIn Knotenbeschriftungen keine runden Klammern in– Knotenbeschriftungendaher ✅z.B. „Diskriminante berechnen“ statt „D berechnen“.

flowchart TD
  A["Start: Problem erfassen"Start"] --> B["GegebenEingabe: unda, gesuchtb, notieren"c"]
  B --> C["ModellDiskriminante: auswählen<br>z.B.D linear= oderb^2 quadratisch"- 4ac"]
  C --> D[D{"RechnenD und< umformen"0?"}
  D -->|ja| E["Keine reellen Lösungen"]
  D -->|nein| E[F{"ErgebnisD prüfen<br= 0?"}
  F -->Plausibilität|ja| undG["Eine Einheiten"Lösung: x = -b / 2a"]
  F -->|nein| H["Zwei Lösungen: x1, x2 via Mitternachtsformel"]
  E --> F[Z["AntwortEnde"]
  formulieren"]G --> Z
  H --> Z

2) Sequenzdiagramm:Sequence „ClientDiagram: fragtAnfrage–Antwort Rechenservicebei an“einer 🔁Formel-API

sequenceDiagram
  participant U as User
  participant C as Client
  participant S as RechenserviceServer

  U->>C: Eingabe „Formel eingebenanfragen“
  C->>S: AnfrageGET senden
  S->>S: Berechnung durchführen/formula?id=pythagoras
  S-->>C: Ergebnis200 zurückgebenOK + LaTeX
  C-->>U: ErgebnisAnzeige anzeigender Formel

3) BalkendiagrammKlassendiagramm: alsMini-Modell Mermaidfür XY-Chart:Vektoren „Messwerte“und 📊Matrizen

xychart-betaclassDiagram
  titleclass "MesswerteVector im{
    Vergleich"+int x-axisdim
    ["A","B","C","D","E"+float[] y-axisdata
    "Wert"+norm() 0float
    +dot(Vector) float
  }

  class Matrix {
    +int rows
    +int cols
    +float[][] data
    +mul(Vector) Vector
    +mul(Matrix) Matrix
  }

  Matrix --> 12Vector bar: [3,„wirkt 7, 5, 11, 6]auf“

4) Zustandsdiagramm:Diagramm: „Rechenjob-Lebenszyklus“Graph 🧩einer Funktion als Beziehung (konzeptionell)

stateDiagram-v2flowchart [*LR
  X["x Werte"] --> WartendF["f Wartendanwenden"]
  F --> Laeuft:Y["y JobWerte"]
  starten
  LaeuftY --> Erfolgreich:P["Punkte Ergebnisim ok
  Laeuft --> Fehlgeschlagen: Fehler aufgetreten
  Erfolgreich --> [*]
  Fehlgeschlagen --> [*Koordinatensystem"]

Wenn du willst,mir kann ich das auchsagst, thematischfür zuschneidenwelches Thema (z.B. AnalysisTrigonometrie, Differentialgleichungen, Statistik, Lineare Algebra) und welchen Schwierigkeitsgrad, Wahrscheinlichkeit)erstelle ich dir gern gezielt passende Formeln plus ein oder zwei wirklich passende Diagramme passend zu einer konkreten Aufgabe generieren.dazu.