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Formeln & Diagramme

Mathematische Formeln (Beispiele) ✍️

1) GrundlagenGrundlegende (Inline & Display)Algebra

    1. PythagorasQuadratische Lösungsformel

      x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Binomische Formel (rechtwinkliges2. Dreieck):binomische Formel)

$$
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
= c^2 $$

QuadratischeGeometrische Lösungsformel:Reihe (endlich)

$$
\sum_{k=0}^{n} x_{1,2}q^k = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}1-q^{n+1}}{2a}1-q}\quad $$
(q\neq 1)

Binomische Formel:

$$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 $$

Euler-Identität:

$$ e^{i\pi}+1=0 $$

2) Analysis

    1. Ableitung (Potenzregel):Produktregel)

      $$
      (f\cdot \frac{d}{dx}\,x^ng)' = nf' x^{n-1}\cdot $$
      g + f \cdot g'

    2. Produktregel:Taylorpolynom 2. Ordnung um (0)

      $$
      f(x)\approx f(0)+f'(fg)0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2
= f'g + fg' $$

    3. Kettenregel:Bestimmtes Integral (Fläche unter der Kurve)

      $$
      \int_{a}^{b} \frac{d}{dx}f\!\bigl(g(f(x)\bigr)=f'\!\bigl(g(x)\bigr)\cdot,dx
g'(x) $$

    4. IntegralGaußsche Glockenkurve (Partielle Integration):Normalverteilung)

      $$
      f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
\int u\,dv = uv-\int v\,du $$

    5. Taylor-Polynom um $0$ bis Ordnung $n$:

      $$ f(x)\approx \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k $$

3) Lineare Algebra & Wahrscheinlichkeit

    1. Matrixmultiplikation (Definition eines Eintrags):Definitionselement)

      $$ 
      (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}
$$

    2. Determinante einer $(2\times 2$2)-Matrix:Matrix

      $$ 
      \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc
$$

    3. Bedingte Wahrscheinlichkeit:Eigenwertgleichung

      $$ P(
      A\mid B)mathbf{v}=\frac{P(A\caplambda\mathbf{v}
B)}{P(B)} $$

    4. Bayes-Theorem:

      $$ P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)} $$

Erwartungswert (diskret):

$$ \mathbb{E}[X]=\sum_{x}x\cdot P(X=x) $$

Diagramme„Diagramme“ mit/ MermaidASCII-Skizzen (schnell & anschaulich) 📈

1) Flowchart: Ablauf „Quadratische Gleichung lösen“

Wenn du echte Diagramme als Hinweis:SVG/PNG Inoder Knotenbeschriftungenals keineLaTeX/TikZ rundenbrauchst, Klammernsag kurz Bescheid – daherdann z.B.passe „Diskriminanteich berechnen“es stattdaran „D berechnen“.an.

1) Parabel (y=x^2)

flowcharty
TD^
A["Start"]|            *
|         *     *
|      *           *
|    *               *
|  *                   *
| *                     *
+----------------------------> B["Eingabe:x
           a,0
b,
c"]

2) BSinuskurve (y=\sin(x)) (schematisch)

y
^        *       *       *
|      *   *   *   *   *   *
|----*-----*-*-----*-*-----*----> C["Diskriminante:x
D|   =*       b^2*       *       *
| *                           *
+--------------------------------
4ac"]
C

3) Exponentialfunktion (y=e^x)

y
^
|                 *
|              *
|           *
|        *
|     *
|  *
+----------------------------> D{"Dx
   <(nahe 0?"}0)      D(stark steigend)

4) Histogramm (Beispiel, 5 Klassen)

Häufigkeit
^
|        ████
|   ████ ████       ███
|   ████ ████  ███  ███
|   ████ ████  ███  ███  █
+-->|ja| E["Keine reellen Lösungen"]
  D -->|nein| F{"D = 0?"}
  F -->|ja| G["Eine Lösung: x = -b / 2a"]
  F -->|nein| H["Zwei Lösungen: x1, x2 via Mitternachtsformel"]
  E ----------------------> Z["Ende"]Klassen
     GA     -->B     ZC    HD   --> ZE

2)

Was Sequencegenau Diagram:möchtest Anfrage–Antwortdu? bei🎯

einer
Formel-APIThemenbereich: 
sequenceDiagramSchule, participantUni U(Analysis/LA), asStatistik, UserPhysik?
participantDiagrammtyp: CFunktionsplot, asBalken, ClientKreis, participantStreudiagramm, SNormalverteilung, asVektorfeld? ServerAusgabeformat: U->>C:MathJax, EingabeTikZ, „FormelMermaid, anfragen“ASCII, C->>S: GET /formula?id=pythagoras S-->>C: 200 OKCSV + LaTeX C-->>U: Anzeige der Formel 3) Klassendiagramm: Mini-Modell für Vektoren und Matrizen classDiagram class Vector { +int dim +float[] data +norm() float +dot(Vector) float } class Matrix { +int rows +int cols +float[][] data +mul(Vector) Vector +mul(Matrix) Matrix } Matrix --> Vector : „wirkt auf“ 4) Diagramm: Graph einer Funktion als BeziehungPlot-Code (konzeptionell)Python/Matplotlib)? 
flowchart LR
  X["x Werte"] --> F["f anwenden"]
  F --> Y["y Werte"]
  Y --> P["Punkte im Koordinatensystem"]

Wenn du mir sagst,1–2 fürFunktionsgleichungen welches Themanennst (z.B. Trigonometrie(f(x)=\sin(x)), Differentialgleichungen, Statistik, Lineare Algebra(g(x)=x^2-2x-3)) und welchenden Schwierigkeitsgradgewünschten Bereich (z.B. (x\in[-5,5])), erstelle ich dir gernpassendere gezieltDiagramme.

passende Formeln plus ein oder zwei wirklich passende Diagramme dazu.
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