Formeln & Diagramme

✨ Eine bunte Sammlung vieler Formeln (Inline und Block)
Unten findest du ganz viele unterschiedliche Formeln – von sehr einfach bis ziemlich komplex, teils inline (mit 
$...$) und teils als Block (mit 
$$...$$). Viel Spaß beim Kopieren & Testen 🙂
1) Kurze Inline-Formeln (sehr gemischt)
Lineare Terme: $3x-7$, $-2a+5b$, $m\cdot x+c$
Potenzen & Wurzeln: $x^2$, $a^{n+1}$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{x^2+y^2}$
Brüche: $\frac{1}{2}$, $\frac{x+1}{x-1}$, $\frac{a^2-b^2}{a-b}$
Beträge & Intervalle: $|x|$, $|a-b|$, $x\in[0,1)$
Summen/Produkte: $\sum_{k=1}^{n}k$, $\sum_{k=0}^{\infty}r^k$, $\prod_{i=1}^{n} i$
Fakultät & Binomial: $n!$, $\binom{n}{k}$
Logarithmen: $\ln(x)$, $\log_{10}(1000)$, $\log_a(x)$
Exponentialfunktionen: $e^x$, $2^{3x-1}$
Trigonometrie: $\sin(x)$, $\cos^2(\theta)$, $\tan(\alpha+\beta)$
Hyperbelfunktionen: $\sinh(x)$, $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$
Grenzwerte: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$
Ableitungen: $f'(x)$, $\frac{d}{dx}\left(x^3\right)$, $\frac{\partial f}{\partial x}$
Integrale: $\int_0^1 x^2,dx$, $\int e^x,dx$
Komplexe Zahlen: $i^2=-1$, $z=a+bi$, $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
Vektoren (symbolisch): $|v|$, $\langle u,v\rangle$
Wahrscheinlichkeiten: $P(A)$, $P(A\mid B)$, $E[X]$, $\mathrm{Var}(X)$
Informatik/Logik: $p\land q$, $p\to q$, $x\in S$
2) Klassische Block-Formeln (Basics bis Standard)
$$
a^2+b^2=c^2
$$
$$
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
$$
$$
(a-b)(a+b)=a^2-b^2
$$
$$
\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=n x^{n-1}
$$
$$
\int x^n,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad \text{für } n\neq -1
$$
$$
\int_0^{\infty} e^{-ax},dx=\frac{1}{a}\quad \text{für } a>0
$$
$$
\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}
$$
$$
\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$
$$
\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}=2^n
$$
3) Algebra, Polynome & Gleichungen (auch etwas „knackiger“)
$$
ax^2+bx+c=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
$$
x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)
$$
$$
\gcd(a,b)\cdot \mathrm{lcm}(a,b)=|ab|
$$
$$
\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^{\infty} x^k \quad \text{für } |x|<1
$$
$$
\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k}\quad \text{für } |x|<1
$$
4) Trigonometrie & Analysis
$$
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
$$
$$
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
$$
$$
\sin^2(x)+\cos^2(x)=1
$$
$$
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}
$$
$$
\frac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x
$$
$$
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x}
$$
$$
\int_0^{2\pi}\sin(nx),dx=0 \quad \text{für } n\in \mathbb{Z}\setminus{0}
$$
5) Komplexe Zahlen & Euler
$$
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
$$
$$
e^{i\pi}+1=0
$$
$$
z=re^{i\theta}\quad \Rightarrow \quad \overline{z}=re^{-i\theta}
$$
$$
|z_1 z_2|=|z_1|\cdot |z_2|
$$
6) Lineare Algebra (ohne Matrix-Umgebung)
(Da du „ohne Matrix-Umgebung“ erwähnt hast, nutze ich eher symbolische Schreibweisen.)
$$
|x|_2=\sqrt{\langle x,x\rangle}
$$
$$
\langle x,y\rangle=\sum_{k=1}^{n} x_k y_k
$$
$$
\mathrm{proj}_u(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}u
$$
$$
\det(A)\neq 0 \quad \Rightarrow \quad A^{-1}\ \text{existiert}
$$
7) Differentialgleichungen & Dynamik
$$
\frac{dy}{dx}=ky
$$
$$
y(x)=Ce^{kx}
$$
$$
m\frac{d^2x}{dt^2}+c\frac{dx}{dt}+kx=0
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
$$
8) Wahrscheinlichkeit & Statistik 📊
$$
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
$$
$$
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
$$
$$
P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}
$$
$$
E[X]=\sum_x x,P(X=x)
$$
$$
\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2
$$
$$
\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]
$$
$$
\rho_{X,Y}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}}
$$
$$
\hat{p}=\frac{k}{n}
$$
9) Optimierung
$$
\min_{x\in \mathbb{R}^n} ; f(x)
$$
$$
\nabla f(x^*)=0
$$
$$
x_{t+1}=x_t-\eta \nabla f(x_t)
$$
$$
\arg\min_x \left( \frac{1}{2}|Ax-b|_2^2+\lambda |x|_1 \right)
$$
10) Diskrete Mathematik & Logik 🧩
$$
p\to q ;\equiv; \neg p \lor q
$$
$$
p\leftrightarrow q ;\equiv; (p\to q)\land(q\to p)
$$
$$
|A\times B|=|A|\cdot |B|
$$
$$
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k y^{n-k}=(x+y)^n
$$
11) „Komplexere“ kombinierte Ausdrücke
$$
\int_0^1 \left( x^\alpha (1-x)^\beta \right),dx=\frac{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\alpha+\beta+2)}
$$
$$
\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln(1+x)}{x}\right)=\frac{\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)}{x^2}
$$
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}
$$
$$
\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0:\ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon
$$
Wenn du willst, kann ich dir das auch thematisch sortiert (z.B. nur Analysis, nur Statistik, nur Diskrete Mathe) oder als „Stress-Test“ mit besonders vielen verschachtelten Brüchen, Summen, Indizes, Fällen usw. bauen.